Relja Bašić rođen je u Zagrebu 1930. godine, a njegova majka Elly Bašić bila je poznata hrvatska glazbena pedagoginja i pijanistica. Bašić je židovskog podrijetla s majčine strane.
Diplomirao je glumu na Akademiji dramskih umjetnosti (ADU) u klasi dr. Gavelle. Godine 1955., pri kraju studija redatelj Bojan Stupica ga uključuje u dramski ansambl HNK u Zagrebu, gdje, ostvarivši niz uloga s istaknutim redateljima (Stupica, Radojević, Gavella, Paro, Habunek, Violić, Juvančić, Spaić) i odigravši 498 predstava ostaje u stalnom angažmanu do 1967. godine.
Godine 1968. Bašić prelazi u status samostalnog umjetnika te kao glumac i redatelj djeluje u Teatru ITD, Kazalištu Komedija, Zagrebačkom kazalištu mladih, kao i na Dubrovačkim ljetnim igrama. U tim kazalištima odigrao je 797 predstava i realizirao svojih prvih šest režija (Ljubaf, Crna komedija, Jedan dan u smrti Joe Egg, Stara vremena, Obećanja i Hotel Plaza).
Godine 1974. s grupom istaknutih glumaca svoje generacije osnovao je prvo hrvatsko putujuće privatno kazalište Teatar u gostima, u kojem kao umjetnički direktor, glumac i redatelj ostaje sve do njegovog prestanka djelovanja 2004. godine. Teatar u gostima je za vrijeme svog tridesetogodišnjeg života izveo 4213 predstava u 340 mjesta i gradova Hrvatske, bivše Jugoslavije te u inozemstvu.
Na filmu Relja Bašić debitira već za vrijeme studija u antologijskom Koncertu Branka Belana (1954.). Za film Rondo Zvonimira Berkovića osvaja i Zlatnu arenu u Puli 1966. godine.
Među publikom, pogotovo među Zagrepćanima, možda će najviše ostati zapamćen po ulozi 'gospona Fulira' u jednom od najboljih hrvatskih filmova "Tko pjeva zlo ne misli" Kreše Golika iz 1970.
Njegova filmska karijera broji 56 domaćih, a kao poliglot koji je govorio nekoliko svjetskih jezika glumio je u 70-tak koprodukcija i inozemnih filmova, uključujući suradnje s nekim od najvećih imena europskog i svjetskog filma, kao što su Volker Schlöndorff, Peter Ustinov, Abel Gance, Robert Hossein, Lamont Johnson, James Cellan Jones, Alexandre Astruce, Mauro Bolognini, Wojtech Jasny, Luigi Magni, Wolfgang Becker i Giuliano Montaldo. Potpisao i 26 režija.
Za svoj umjetnički rad Relja Bašić dobio je mnogobrojne nagrade i priznanja, među kojima Orden reda Danice Hrvatske - za doprinos u kulturi Republike Hrvatske i Nagradu Vladimir Nazor - za životno djelo u kazalištu (1995.), Nagradu Dubravko Dujšin za kazališnu umjetnost, za kazališno godište 1976. / 77. – za ideju, organiziranje i uspješno vođenje Teatra u gostima (1978.), Plaketu grada Zagreba - dodijeljenu Teatru u gostima za 30. obljetnicu (2004.), Plaketu Društva dramskih umjetnika Hrvatske - za izuzetan doprinos Društvu (2003.), Zlatnu plaketu - za 40. godina aktivnosti Hrvatske zajednice samostalnih umjetnika (2000.).
